Thursday, January 26, 2006

El método de los elementos finitos en la ingeniería .







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El cálculo en ingeniería (Finite Element Analysis )
Una de las tareas fundamentales del ingeniero consiste en el análisis y cálculo, esto es la predicción cuantitativa del comportamiento de un sistema ( system) tecnológico o un proceso para proceder a su diseño eficiente o para cumplir con especificaciones de producción.
Ejemplos de los mismos los podemos encontrar en áreas del flujo de calor, mecánica de fluidos, electromagnetismo, reacciones químicas y otros.
Para ello debe hacer uso de conceptos de física, química y matemática, para formular un modelo matemático del sistema o proceso en consideración. Dicho modelo no es más que un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas representan magnitudes de interés tecnológico que permiten describir el comportamiento del objeto bajo análisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la predicción en sí misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente las mencionadas ecuaciones para dedicarse, a continuación, a la interpretación técnica y al análisis de los resultados.En muchas situaciones, los modelos pertinentes involucran problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales a derivadas parciales. Por mencionar algunos de dichos casos pueden citarse el estudio estructural de automóviles, aviones, puentes, o el análisis de campo de flujo de calor en componentes de máquinas, flujo de fluidos, filtración en presas de tierra, etc.Debido a la gran dificultad para obtener soluciones analíticas a las ecuaciones aludidas, la ingeniería ha recurrido, históricamente, al uso de modelos simplificados basados en resultados experimentales, experiencia y en el mejor de los casos en unas pocas soluciones matemáticas particulares relativas a un modelo más preciso. Esta metodología general de la ingeniería ha dado muy buenos resultados y aún lo sigue haciendo. No obstante, es importante notar que se trata de una metodología que presenta fuertes limitaciones en cuanto a las posibilidades de análisis, hecho que se hace más grave si se consideran las crecientes necesidades de la tecnología moderna.Este cuadro ha ido cambiando con el advenimiento de la computación electrónica y con el desarrollo asociado de métodos computacionales. En el contexto que se alude han aparecido importantes técnicas numéricas entre las cuales se destacan los métodos de diferencias finitas, elementos de contorno y elementos finitos.En particular este último es el más poderoso y, en consecuencia, el más utilizado.A continuación se realiza una somera descripción del mismo para luego comentar algunas de sus muchísimas aplicaciones en la ingeniería práctica.



Los problemas de ingeniería.

Los problemas de ingeniería se estudian con modelos matemáticos que representan situaciones físicas, estos modelos son ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno e iniciales determinadas.Las ecuaciones diferenciales son derivadas, que se deducen aplicando leyes fundamentales y principios de la naturaleza a sistemas, estas representan el equilibrio de masas, fuerzas o energía.
Cuando es posible la solución exacta de estas ecuaciones nos muestran el comportamiento de un sistema en estudio bajo ciertas condiciones ,las soluciones analíticas están compuestas de dos partes (1) una parte homogénea y (2) una parte particular.
En cualquier problema de ingeniería ,hay dos clases de parámetros que influyen en la forma como el sistema se comportara, primero están los parámetros que dan información sobre el comportamiento natural de un dado sistema, estos incluyen propiedades tales como el modulo de elasticidad, la conductividad térmica y la viscosidad ( ver dibujo ).
Luego están los parámetros que producen un disturbio o alteración en el sistema, como fuerzas externas, momentos, diferencia de temperatura en el medio y diferencias de presión en flujos de fluidos.
El comportamiento natural de un sistema que se deduce es la parte homogénea de la solución de las ecuaciones diferenciales, en contraste, los parámetros que causan disturbios aparecen en la solución particular.
Es importante comprender el papel de estos parámetros en el modelado con las técnicas de elementos finitos, en términos de sus respectivas apariciones de las denominadas matrices de dureza o rigidez (stiffness) o conductancia y las matrices de carga o fuerza.
Los sistemas característicos siempre presentan la matriz de rigidez, la matriz de conductancia o la matriz resistencia, mientras los parámetros que producen disturbios aparecen en la matriz de carga.

Análisis numérico.

Hay muchos problemas prácticos en ingeniería los cuales no podemos obtener la solución exacta, esto se puede atribuir a la complejidad natural de las ecuaciones diferenciales o a las dificultades que pueden ocurrir con las condiciones de contorno o iniciales.
Para tratar este tipo de problemas usamos las aproximaciones numericas.En contraste a la solución analítica, que muestra el comportamiento exacto de un sistema en cualquier punto del mismo, las soluciones numéricas aproximan la solución exacta solo en puntos discretos, llamados nodos.
El primer paso en cualquier procedimiento numérico es la discretizacion, este proceso divide el medio de interés en un número de pequeñas subregiones y nodos.
Hay dos clases de métodos numéricos: (1) método de las diferencias finitas y (2) método de los elementos finitos.
Con el método de las diferencias finitas,la ecuación diferencial es escrita para cada nodo y las derivadas son reemplazadas por ecuaciones diferencias ,con ello se logra un conjunto de ecuaciones lineales simultaneas, aunque este método es fácil de entender y utilizar en problemas simples, se presentan dificultades al aplicarlo a geometrías complejas o condiciones de contorno complejas, esta situación es real para problemas con materiales con propiedades no isotropicos(que no tienen iguales propiedades en todas las direcciones).
En contraste, el método de los elementos finitos usa unas formulaciones integral mas que ecuaciones diferencias para crear un sistema de ecuaciones algebraicas, por otra parte una función continua aproximada se asume para representar la solución para cada elemento, la solución completa se genera conectando o armando las soluciones individuales, permitiendo la continuidad de los límites ínterelementales.
A continuación se dibujan algunos sistemas de ingeniería y sus parámetros,


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Fundamentos del método de los elementos finitos

Se trata de un método general para la solución de problemas de contorno gobernados por ecuaciones diferenciales ordinarias o parciales. En esencia se trata de una técnica que sustituye el problema diferencial por otro algebraico, aproximadamente equivalente, para el cual se conocen técnicas generales de resolución. Para ello hace uso de la "discretización" o subdivisión de una región sobre la cual están definidas las ecuaciones en formas geométricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades materiales y relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en función de los valores desconocidos en las "esquinas" de los elementos o nodos (ver Figura 1).
Una de las ventajas de este método es su facilidad de implementación en un programa computacional, que a su vez es una condición básica para su utilización ya que para el tratamiento de un problema en particular debe efectuarse un número muy elevado de operaciones para resolver sistemas algebraicos del orden de cientos o miles de ecuaciones. No obstante, esta cantidad no es una limitación con las computadoras estándar de hoy.
Las ideas básicas de este método se originaron en avances en el análisis estructural de la industria aeronáutica en la década del '50. En la década del '60 el método fue generalizado para la solución aproximada de problemas de análisis de tensión , flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la década del '70 el método fue extendido al análisis de problemas no lineales de la mecánica del continuo. Hoy el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales.
En sus principios el método de los elementos finitos no llegó masivamente a la práctica de la ingeniería debido a la no disponibilidad de computadoras en los estudios de ingeniería y por el otro al requisito de conocimientos profundos no solamente de la técnica y de los modelos matemáticos pertinentes sino también de programación computacional. Actualmente, la situación es completamente diferente, ya que las modernas computadoras personales soportan sin inconvenientes poderosos programas de propósito general de fácil utilización.

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Figura 1

El proceso de análisis de un problema físico mediante elementos finitos se muestra en la figura 1. La geometría puede ser definida por el analista o creada a partir de algún programa CAD. El segundo paso consiste en definir el modelo matemático a resolver. Este es el paso fundamental donde se especifica el tipo de ecuaciones a determinar, las condiciones de borde, propiedades materiales, y otros detalles acerca del método en sí mismo. Una vez efectuada dicha definición el programa resuelve automáticamente las ecuaciones pertinentes y provee los resultados en una forma apropiada para el analista.

Aplicaciones

Modelo Elastohidrodinámico de un cojinete.

En la figura 2 se observa la distribución de presiones en un cojinete desarrollado. Se arribó a dicha solución considerando el problema acoplado elastohidrodinámico bidimensional, es decir tratando conjuntamente la obtención de las presiones debidas al flujo de lubricante dentro del cojinete (aplicando la ecuación de Reynolds modificada) y la modelización del mismo como una placa elástica simplemente apoyada en sus extremos. Este tratamiento permite aproximar mejor que los modelos analíticos convencionales la distribución de presiones en el interior del cojinete al considerar simultáneamente la deformación por los efectos de ésta. También es posible considerar los efectos en los bordes del cojinete al trabajar con un modelo bidimensional.
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Figura 2

Estudio dinámico de un sistema presa - embalse

En este ejemplo se ha desarrollado el análisis dinámico de una presa de gravedad junto con el reservorio de líquido que interactúa con ella. Se ha considerado para esto una excitación sinusoidal horizontal (representativa, por ejemplo, de un movimiento sísmico) sobre la parte sólida del dominio (presa). Desde el punto de vista analítico clásico, este problema debe ser tratado obteniendo, en primer lugar, las presiones hidrodinámicas en el embalse, considerando al dique como un cuerpo rígido; en un paso posterior se puede determinar el problema elástico en la estructura. Mediante un modelo computacional de elementos finitos puede analizarse simultáneamente la dinámica en el embalse y en la presa. Fácilmente pueden considerarse otras complejidades como interacción con fundaciones estratificadas, existencia de galerías de inspección en la presa, geometrías complejas del embalse, etc. En la figura 3 puede observarse la malla de elementos finitos del modelo, mientras que en la figura 4 se describe la presión en la interface entre el medio sólido y el líquido.

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Figura 3

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Figura 4

Observaciones finales

En este artículo se ha intentado difundir someramente una de las herramientas más importantes con las que cuenta la ingeniería para el análisis de complejos problemas que hasta hace algunos años resultaban inabordables.
Paradójicamente, el diseño curricular de las carreras de ingeniería aún no le da a este método el lugar que le corresponde, reduciéndose así las posibilidades de análisis de los futuros ingenieros. Esta situación debe ser remediada a corto plazo a fin de formar ingenieros que sean capaces de utilizar la poderosa tecnología computacional que tienen al alcance de la mano para realizar modernos y más eficientes diseños.

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Palabras inglesas para la busqueda : Finite element procedures , engineering analysis, stress analyses, Vibration Analysis, computer simulation .